Contando hasta 27 de una sola tacada.

Ya referimos acá en este blog, en el neolítico de Siglos Curiosos, cómo el sistema numérico de base 10 que nos parece tan natural, es en realidad uno de tantos sistemas posibles. En principio, la cantidad de números que se pueden utilizar como unidades, antes de tener que ampliar la base (como ocurre en nuestro sistema al pasar del 9 al 10, o del 99 al 100, etcétera), debe ser al mismo tiempo alta para no tener que ampliar la base a cada rato (cualquiera que haya tratado con una base binaria de ceros y unos sabe lo frustrante que es esto), pero no tan alta que una sola persona no pueda memorizarse los símbolos básicos y esenciales. El 10 es un compromiso aceptable, aunque también para otras culturas lo era el 12 (para los babilonios era el 60, nada menos, razón por la que aún dividimos la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos). Lo único que se requiere para la mnemotecnia, es asociar los números con algo, para que los niños puedan aprenderlo. Nosotros asociamos nuestros 10 dígitos con los dedos de la mano, y tan felices.

Pero los que baten alguna clase de récord en la materia son los telefol y los oksapmin, dos tribus de las innumerables que existen en Papúa Nueva Guinea. Porque sus matemáticas funcionan con una base... 27. Así, tal y como suena. Nosotros contamos hasta nueve y tenemos que ampliar la base para escribir 10. Ellos pueden contar hasta 27 antes de ampliar la base al pasar al 28. Es como si nosotros en vez de tener diez signos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) tuviéramos 27. Una locura. Pero a los telefol les funciona.

La clave del sistema telefol u oksapmin es que no asocian los números sólo a los dedos de las manos, sino también a otras partes del cuerpo. Ellos parten con una mitad del cuerpo, y cuentan los dedos: ahí tienen cinco dígitos. Luego cuentan las partes del brazo (muñeca, brazo, codo, antebrazo y hombro) y tienen otras cinco: van diez. Luego, tienen el huesito que conecta el hombro con el cuello, el ojo y la oreja: van trece. Si se considera que todas las personas tienen todas esas partes por duplicado, asignando valores distintos según si la parte del cuerpo en cuestión está a su lado izquierdo o derecho, duplicamos a veintiseis. Sumémosle la nariz, y tenemos 27 (la nariz es el 14, y la cuenta por el otro lado del cuerpo va desde el 15 hasta el 27). Un "número" consiste en la parte del cuerpo, más el apuntar hacia la misma. O sea, si quiere significar "ocho", se apunta a su propio codo del lado respectivo (el codo del otro lado es veinte...). Las palabras que usan para los números son las mismas que utilizan para la parte del cuerpo en cuestión, de manera que "tan-besa" puede significar al mismo tiempo "el otro brazo" o "veintiuno", según el contexto.

Por supuesto que hablamos de tribus con una cultura cercana al Paleolítico, que no necesita del álgebra o del cálculo avanzado para su existencia diaria. Con una aritmética simple les basta, y rara vez se enfrentan a situaciones en las que deban expresar una cantidad numérica superior a 27 (si lo hacen, expresan los números como una cantidad determinada "más 27", tantos "más 27" como hagan falta). Porque no me van a negar que resulta rara la imagen mental de Al-Juarismi, Friedrich Gauss o Albert Einstein apuntándose a toda la parte superior del cuerpo como si tuvieran sarpullido, para sacar adelante sus matemáticas. La solución de estas tribus es rara para nuestros estándares, pero para lo que necesitan ellos es muy funcional, habida cuenta de que es un sistema de conteo muy visual, a la vez fácil de entender en su mecánica, y que permite operar con las cantidades bajas que ellos utilizan en su vida cotidiana.

En torno al cero.

Contrario a lo que se piensa, la noción del número cero no es exactamente un invento de los matemáticos de la India. En realidad, tanto los babilonios como los griegos se habían aproximado al concepto de cero. Después de todo, si usted está trabajando con números, puede preguntarse qué clase de número es lo que resulta cuando usted resta cinco de cinco, por ejemplo. Los babilonios se las trataban de ingeniar para usar un sistema numérico que podríamos considerar semiposicional, pero no llegaron a desarrollar un número cero propiamente tal, de manera que su notación dejaba huecos y vacíos. Leer eso debe haber sido un horror. Los griegos por su parte se hacían la pregunta bastante lógica de que cómo puede la nada ser algo, y de ahí que representar a la nada con un signo se les antojara algo extraño.

Los matemáticos índicos, en cambio, no le temieron a dar literalmente el salto al vacío. Quizás se trate de la filosofía de fondo. El mundo indostánico estaba impregnado de la filosofía de la eternidad, de los incontables ciclos históricos y cosmológicos de esto o aquello, y de ahí que, de tanto llenar el universo con millones de años y millones de mundos, se hayan planteado la alternativa opuesta, es decir, la nada. Para ellos, el cero partió siendo un concepto religioso o filosófico. Brahma, el dios que es casi coesencial al universo mismo, es lo más sagrado, pero también es el vacío absoluto, en una típica voltereta paradojafílica de los pensadores de la India. A este vacío lo llamaron "shunya".

Sólo que la palabra "shunya" prosperó más allá. Cuando los árabes se construyeron su gigantesco imperio desde Asia Central hasta España, en el siglo VII y comienzos del VIII, importaron los números que desde entonces por error llamamos "arábigos". Estos números eran nueve dígitos, más un extraño décimo dígito que representaba el vacío. A este signo lo llamaron con el nombre índico "shunya" que ya mencionamos, ahora traducido al árabe: "sifr". De ahí, los eruditos europeos medievales lo tradujeron al latín como "zephirum", y de ahí pasó al castellano como "cero".

Sólo que la historia no acaba ahí. El famoso "sifr" se transformó en el misterio más misterioso de todo el sistema numérico extraño ése que algunos enteradillos querían utilizar en sustitución de los números romanos, en la Edad Media. A esos números, en una traducción de fonética bruta, los llamaron "cifras". Pero a su vez, como unos pocos sabían manejar esas condenadas cifras, pronto nació un segundo uso para la palabra, que es poner algo en código. Nacieron así las palabras "cifrar" y "cifrado". Y a las operaciones inversas bastó con añadirles el prefijo "de-": así el idioma castellano pasó a crecer con las palabras "descifrar" y "descifrado". El idioma y las matemáticas a veces tienen relaciones muy extrañas entre sí.

¿Qué tamaño tiene la Biblioteca de Babel?

Todo aficionado a la Literatura se topa más tarde o más temprano con la larga y adusta sombra del escritor Jorge Luis Borges, conocido también de cariño como "el che ése que mareaba la cachimba escribiendo esas cositas raras de laberintos y tigres y espejos y bibliotecas". Uno de sus cuentos más representativos en cuanto a temática es probablemente "La biblioteca de Babel", que se encuentra en su libro "Ficciones", publicada por primera vez en versión definitiva en 1944, y que desde ya recomiendo vivamente a todo quien no lo haya leído (el cuento y el libro: ambos recomendados). Advierto desde ya que este posteo destripa los detalles del argumento, aunque esto tampoco puede considerarse como un delito capital, porque después de todo, lo que está revestido acá de cuento en realidad es un ensayo filosófico sobre el infinito, sobre la cultura humana, y sobre la naturaleza de nuestro conocimiento sobre el universo y las posibilidades y límites de investigar el mismo, todos temas típicamente borgianos. Pero desde un punto de vista más histórico, nos importa una preocupación algo más terrenal: ¿cuántos libros tiene la dichosa Biblioteca de Babel? ¿De qué tamaño es? ¿Es en verdad tan impresionante como la pinta Borges?

Para quienes no hayan leído el cuento y no le temen a los spoilers: éste trata sobre un universo que es una gigantesca biblioteca. De hecho, éstas son sus palabras iniciales: "El universo (que otros llaman la Biblioteca) se compone de un número indefinido, y tal vez infinito, de galerías hexagonales, con vastos pozos de ventilación en el medio, cercados por barandas bajísimas". La peculiaridad es que cada galería posee anaqueles en cuatro de sus seis paredes (suponemos que el suelo y el techo no, por razones obvias). En estos anaqueles hay libros. Sus habitantes, después de paciente investigación, arriban a la conjetura (nunca desmentida, eso sí) de que allí están TODOS los libros que pueden ser escritos, ya que están todas las posibles permutaciones entre las distintas letras (22), el punto y la coma, y el espacio en blanco entre palabra y palabra que se cuenta como un signo de puntuación adicional, todas las permutaciones (repito) que es posible imprimir sobre una secuencia de hojas de papel. La situación es desesperante porque la mayor parte de esos libros son galimatías sin sentido (una biblioteca así tendría textos como "ahgfasdfjksdgfgjhsd", por ejemplo, así como cualquier otra combinación absurda pero posible de signos de escritura), mientras que unos poquísimos, por puro azar, deben tener texto inteligible y aprovechable (un poco como la teoría de los mil monos golpeando mil máquinas de escribir). Piénsenlo: en esa Biblioteca existen todos los libros religiosos, existen todas las novelas (sin que importe su longitud, porque si es demasiado larga, existe su Tomo I, su Tomo II, su Tomo III, etcétera), existen todas las Enciclopedias, existe un libro en el cual se cuenta toda la historia de tu vida hasta el día de tu muerte que está por venir y eso sin ningún error (y en realidad más de uno, si consideramos las distintas redacciones posibles), existe un único libro con todas sus páginas en blanco (el espacio es también una "letra", y debe haber un libro en que coincidan todas las letras "espacio"), existe un libro que es el texto exacto de todos los posteos de este blog Siglos Curiosos, existen todos los libros anteriores con todas las erratas de imprenta que sea posible escribir, y además todo eso existe en cualquier idioma que sea posible reducir al alfabeto de veinticinco símbolos que usa la Biblioteca... y existe por supuesto un catálogo de todos los libros de la Biblioteca debidamente indexados, que a su vez es inencontrable porque sería indistinguible de los millones de catálogos falsos que TAMBIÉN deben estar en la Biblioteca... algunos de ellos con apenas una o dos letras erróneas... Y claro, quizás haya un libro de instrucciones para encontrar ese dichoso catálogo, sepultado entre miles de libros de instrucciones ERRÓNEAS para dar con dicho catálogo...

La cuestión es, ¿qué tamaño debería tener una Biblioteca de esas características? Borges nos da algunos datos: "a cada uno de los muros de cada hexágono corresponden cinco anaqueles; cada anaquel encierra treinta y dos libros de formato uniforme; cada libro es de cuatrocientas diez páginas; cada página, de cuarenta renglones; cada renglón, de unas ochenta letras de color negro". Considerando que Borges nos dice que "el número de símbolos ortográficos es veinticinco", y haciendo unas simples multiplicaciones, podemos averiguarlo. Supongamos que trabajamos con los tipos móviles de la imprenta de Gütemberg. Cada renglón acepta 80 de esos tipos de metal. Para el primer hueco tenemos 25 opciones. Para el segundo tenemos otros 25, lo que nos da 625 posibles combinaciones ("aa", "ab", "ac", "ad", etcétera, y luego "ba", "bb"...). Para el tercero tenemos otras 25 posibilidades, que en combinación con las 625 precedentes dan (625 x 25) 15.625 combinaciones (y llevamos apenas los tres primeros signos). O sea, para calcular la cantidad de libros posibles sólo tenemos que averiguar cuántos "25" debemos incluir en nuestra multiplicación. Y eso nos lo da la cantidad de letras totales que puede cobijar un libro. ¿Cuánto es eso? Simple: debemos multiplicar las 80 letras de cada renglón, por los 40 renglones de cada página, por las 410 páginas. Eso nos da la "miseria" de 1.312.000 "huecos", que deberíamos rellenar con los tipos móviles de Gütemberg. Deberíamos tener entonces 1.312.000 tipos móviles de cada signo, sólo para el libro que estadísticamente los debe reunir todos. Entonces, la cantidad de combinaciones posibles es de 25 x 25 x 25 x 25 x 25 ... repitiendo "25" 1.312.000 veces. Ni siquiera voy a intentar poner en números una cifra tan astronómica, no creo que me quepa dentro de los márgenes de un posteo de este blog, y además probablemente sea algo que carezca de sentido.

¿De qué tamaño es la Biblioteca? Si 32 libros llenan un anaquel, y cinco anaqueles llenan un muro, y cuatro muros llenan una galería, entonces debemos calcular que una galería va a estar llena por el resultado de multiplicar 32 x 5 x 4, lo que arroja 640 libros en total por cada galería. O sea, para calcular el tamaño total de la Biblioteca de Babel, "basta simplemente" con tomar la cantidad anterior (los 25 multiplicados por sí mismos 1.312.000 veces) y dividirlos por 640. Aunque va a ser una cifra sensiblemente menor a la otra, aún así tengo el presentimiento de que va a ser monstruosa, y como blog de Historia y no de Matemáticas que es Siglos Curiosos, renuncio siquiera a intentarlo.

Hagamos algunas comparaciones. Según la sección FAQ de la webpage de la Biblioteca del Congreso de los Estados Unidos, la misma posee "más de 32 millones de libros y material impreso" (traducción del inglés cortesía de su seguro servidor el General Gato). No todo seguramente son libros (deben haber folletos, mapas, etcétera). También hay que considerar otros ¡110 MILLONES! de otros ítemes varios. Todo eso cabe en tres edificios completos, además de otros almacenes y depósitos (siempre según el FAQ de la propia Biblioteca del Congreso de los Estados Unidos). Sobreestimemos un poco el total y digamos que la Biblioteca del Congreso posee 140 millones de ejemplares entre libros, colecciones, ítemes, etcétera. ¿Qué porción de la Biblioteca de Babel cabría en ese espacio? Para eso basta con calcular cuántas veces debemos multiplicar 25 por sí mismo para sobrepasar la cantidad de 140 millones, y descontar eso de las 1.312.000 veces que debemos multiplicar 25 por sí mismo. Para eso sólo se requiere multiplicar seis veces 25 por sí mismo (el resultado es 244.140.625, no me pidan matemáticas más precisas). Aún nos queda multiplicar 25 por sí mismo nada menos que 1.311.994 veces más. Ni siquiera necesito decir lo aberrantes que son estas cantidades para la imaginación humana.

No por nada, el narrador de la Biblioteca de Babel dice en tono lastimero: "Como todos los hombres de la Biblioteca, he viajado en mi juventud; he peregrinado en busca de un libro, acaso del catálogo de catálogos; ahora que mis ojos casi no pueden descifrar lo que escribo, me preparo a morir a unas pocas leguas del hexágono en que nací". Modernamente, uno podría decir lo mismo de esa moderna Biblioteca de Babel que es Internet, en la cual, aunque se pase uno la vida entera navegando, no llegará más que a cubrir un porcentaje insignificante de todas las páginas y sitios que son posibles de visitar...

Cómo derrocar la democracia en Estados Unidos.

Kurt Gödel (1906-1978) es con toda probabilidad el lógico más importante de todo el siglo XX, y quizás no sea exagerado considerarlo como uno de los teóricos más formidables de todos los tiempos. En su época, las Matemáticas y la Lógica estaban dominadas en buena medida por los famosos 23 problemas de Hilbert, publicados por el matemático David Hilbert en 1900, uno de los cuales era obtener la prueba de que los axiomas de las matemáticas son consistentes, esto es, que se pueden probar en los términos de su propio sistema. En 1931, Gödel probó con su "segundo teorema de la incompletitud", que tal cosa es imposible, porque todo sistema aritmético necesita un punto de referencia externo para obtener su propia validez (explicado de manera muy tosca, claro está, que esto es un blog de Historia y no de Matemáticas). Pero aparte de ser un genio matemático, Gödel era un hombre de temperamento inseguro, extraño y paranoico. Quizás haya una conexión entre las más que certificadas paranoias de Gödel, y su revolucionaria lógica: después de todo, un paranoico debe estudiarlo todo a fin de sentirse seguro. En 1938, Gödel escapó de Austria debido al Anchluss del Tercer Reich, y se radicó en Estados Unidos. Con el paso de los años, decidió adoptar la nacionalidad estadounidense, y para ello se presentó al examen oral de rigor. Para dicho examen debió prepararse estudiando la Constitución de los Estados Unidos de América, y entonces...

La historia ha sido contada de varias maneras distintas, e incluso se puede discutir que sea una leyenda (pero si lo fuera, sigue siendo demasiado entretenida para dejarla pasar). El caso es que, se supone, a punta de estudiarse la Constitución, Kurt Gödel descubrió en ella una contradicción lógica fatal, la que de ser explotada, permitiría transformar a Estados Unidos en una dictadura de manera perfectamente legal. Excitado por su descubrimiento (recordemos que Gödel era paranoico y venía escapando del Tercer Reich), compartió su descubrimiento con uno de sus amigos, el economista Oskar Morgenstern (por más señas, este Morgenstern ayudó a desarrollar las matemáticas necesarias para cruzar la Economía y la entonces naciente Teoría de Juegos). Con los pies más puestos en la tierra, Morgenstern le recomendó a Gödel guardar silencio sobre el particular en el examen.

Oskar Morgenstern acompañó a Gödel el día del examen (el 5 de Diciembre de 1947), así como también Albert Einstein, que era amigo personal de los dos, y ya en ese tiempo (fines de los '40s) estaba radicado y nacionalizado en Estados Unidos. El juez Phillip Forman, quién presidía el examen, comentó entonces que Gödel era de nacionalidad alemana, a lo que éste habría replicado que era austríaco. Forman hizo entonces un comentario acerca de la siniestra dictadura nazi, y añadió el consabido "por suerte que esas cosas no pueden pasar aquí"... Para el excéntrico y paranoico Gödel, fue darle gasolina a la hoguera, porque saltó de inmediato, sumamente excitado, y dijo que por el contrario, él poseía la prueba de que Estados Unidos sí podía ser convertido en una dictadura por medios perfectamente legales. Eso hubiera mosqueado a cualquier juez examinador, pero por fortuna, Einstein y Morgenstern se encargaron de contener y calmar a Gödel, y además, el juez Forman conocía a Einstein porque él mismo se había encargado de administrarle el juramento de nacionalización al creador de la Teoría de la Relatividad, así es que cortó el tema en redondo, antes de que el pobre Kurt Gödel terminara de ponerse en vergüenza a sí mismo. El asunto terminó bien para Gödel, y Phillip Forman obtuvo el insólito currículum de tomarle el juramento de nacionalidad a dos de las más grandes eminencias científicas del siglo XX (Kurt Gödel y Albert Einstein, claro está).

Existen testimonios de lo que ocurrió en esa sala, y por tanto la anécdota parece fidedigna. Sin embargo, la famosa prueba que Gödel había encontrado, la desconocemos, porque no parece haberla explicado en detalle (o quienes la escucharon prefirieron guardar silencio), ni tampoco dejó escrito al respecto. Hubiera sido interesante saber qué tenía por decir el lógico más grande del siglo XX sobre la Constitución más importante de toda la Historia Universal, pero por otra parte, aún a riesgo de terminar este posteo con un regusto a serie B de los '50s, quizás "hay cosas que el hombre no debería saber"...

Alicia y la Relatividad.

Lewis Carroll, autor de "Alicia en el País de las Maravillas", era de profesión matemático. Se cuenta que cuando la Reina Victoria leyó el libro, quedó tan fascinada por su fantasía y espíritu, que mandó traer todas las obras del autor... sólo para encontrarse con textos de títulos tales como "Syllabus de álgebra geométrica elemental", "Euclides y sus rivales modernos", "Curiosa matemática" (bueno, seamos justos, los dos últimos son posteriores a "Alicia en el País de las Maravillas", pero dan una idea). Y como "Alicia en el País de las Maravillas" es un despiporre de imaginación, pero guiada por una lógica estricta, no es coincidencia que la idea de "lo relativo" esté muy incrustada dentro de la obra. Al fin y al cabo, como todo buen lógico sabe, el valor de las afirmaciones depende en mucho de las premisas a partir de las cuales se parte, y éstas son... relativas, justamente.

Ya de entrada, la novela parte con Alicia cayendo en un profundo pozo. ¿Y qué escribe Carroll acá? "Sea porque el pozo era en verdad muy profundo, sea porque en realidad estaba cayendo muy despacio"... La caída de Alicia es larguísima, e interesantemente, Carroll pone en entredicho el por qué de ello. En la época de Carroll, la ciencia basada en la Mecánica Newtoniana afirmaba que existía un espacio y un tiempo absolutos, y por lo tanto, hubiera sido posible determinar una cosa u otra (el pozo es muy largo, o Alicia caía a baja velocidad). El escenario que describe Carroll, en que una caída libre es equivalente a una situación de ingravidez, en términos de percepción del espectador, se anticipa así en nada menos que cuatro décadas al brillante descubrimiento de Albert Einstein: toda magnitud es relativa al punto de vista del observador. Desde la perspectiva de Alicia, en efecto, es imposible distinguir si el pozo es demasiado largo o la velocidad de caída es demasiado lenta, ya que Alicia carece de un punto de referencia al que amarrarse, exactamente igual como en la Teoría de la Relatividad debes siempre decir que un objeto se mueve a tal o cual velocidad, a partir de otro sistema de referencia adicional.

Más adelante, Alicia experimenta una serie de cambios de tamaño. Mientras es una gigante, la desesperación la lleva a llorar, pero después, a consecuencias de comer lo que no debe, Alicia acaba reducida de tamaño, y termina sumergida en un charco de agua salada. Y entonces...: "pronto dedujo que donde estaba en realidad era en el charco de lágrimas que se había formado con tantos lagrimones como había vertido cuando tenía nueve pies de altura". Y se dice a sí misma: "Supongo que ahora sufriré el castigo que me merezco por haberlo dicho ¡ahogándome en mis propias lágrmias! ¡Eso sí que será una paradoja!".

Dejaremos para otra ocasión cómo en el País de las Maravillas el tiempo corre como se le pega la regalada gana, y terminaremos con otro ejemplo de relatividad, en la conversación entre Alicia y la Oruga. Luego de una conversación sin sentido que no conduce a ninguna parte (seguro que la Oruga fue a la Escuela Lingüística Martin Heidegger), se produce el siguiente diálogo:

-- ¿Estás satisfecha con tu tamaño actual?-- preguntó la Oruga.

-- Pues, verá usted, señor-- respondió Alicia --si no le importa, me gustaría ser un poco más alta, porque sólo con tres pugadas ¡cualquiera se siente tan desgraciada...!

-- ¡Pues yo diría que es una estatura muy afortunada!-- dijo la Oruga furiosa, irguiéndose cuan larga era (tenía exactamente tres pulgadas de altura)...

-- ¡Pero es que yo no acostumbro a tener tres pulgadas! (...)

-- Ya te irás acostumbrando-- sentenció la Oruga...

Sistemas de numeración.

La "base" de un sistema de numeración es, en términos bien simples, el punto en el cual un orden de números da paso al siguiente. Suena un tanto abstracto, pero si lo ejemplificamos con nuestro sistema, podrá entenderse. El sistema numérico nuestro, comúnmente llamado "arábigo" a pesar de que los árabes fueron sólo transmisores del mismo (fue inventado en la India), es de base 10. Esto quiere decir que el primer orden (el de las unidades) abarca 10 números (cero a nueve), después de lo cual pasa al orden siguiente (el de las decenas), ampliándose 10 veces (0 a 99) hasta pasar al orden de las centenas o centenares, ampliándose otras 10 veces (0 a 999), hasta pasar al orden de los miles, y así sucesivamente hasta el infinito.

El sistema de numeración romano, por su parte, también es decimal, pero como no es posicional (o sea, las cifras no representan cantidad dependiendo de su posición, como nuestro 9 que puede ser 9, 90 o 900 según cuántos ceros haya después), necesitaban de un nuevo símbolo cada 10 unidades: I (1), X (10), C (100), M (1000). Y se ayudaban con números intermedios para acortar las cifras: V (5), L (50), D (500). (Para ser más exacto, esta intercalación hace que el sistema romano sea "biquinario", o sea de base "de doble cinco", podríamos decirlo así).

Nuestro sistema de notación nos parece tan intuitivo, que nos cuesta concebir otros sistemas de numeración. Y sin embargo, históricamente los ha habido diferentes. Parece ser que nuestro sistema deriva del hecho de que poseemos 10 dedos en las dos manos, y por tanto, podemos contar con ellos una sola vez de cero a diez sin dificultad. Pero los griegos usaban una sola mano, y su sistema era de base 5, por lo que cada nuevo orden se obtenía ampliando la base no 10 veces como nosotros (1, 10, 100, 1000...), sino 5 veces (1, 5, 25, 125...). Más complejo fue el sistema maya, que era de base 20. O sea, cada nuevo orden venía ampliando 20 veces la base (1, 20, 400, 8000...). De manera por completo independiente, los antiguos celtas también desarrollaron un sistema de base 20, cuyos vestigios aún se conservan hoy en día en el idioma céltico de Irlanda, así como en el francés.

Los babilonios, por su parte, usaban un sistema decimal (de base 10), pero también uno de base 60 (1, 60, 3600, 216000...). De dónde lo sacaron es un misterio, pero incluso en medio del imperio decimal en que vivimos, sobreviven vestigios de ese sistema, ya que dividimos la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos... y el círculo en 360 grados, que es seis veces 60.

Además, el desarrollo tecnológico le ha dado cabida a otros sistemas de numeración. El famoso código binario de las computadoras, cuya base es el 0 y el 1, en el fondo es un sistema de base 2, en donde los nuevos órdenes parten con el 1, el 2, el 4, el 8...). Otro sistema vinculado a las computadoras es el hexadecimal, de base 16 (1, 16, 256, 4096...). Un kilobyte (el famoso Kb), por ejemplo, no equivale a 1000 bytes, como su prefijo "kilo" podría dar a entender, sino a 1024 bytes, que es igual a 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2.

Como nota anecdótica, digamos que en la novela de ciencia ficción de Jack Vance titulada "Los lenguajes de Pao", una civilización extraterrestre usa un sistema de base 8 (1, 8, 64, 512...), lo que tiene algunas curiosas consecuencias en el lenguaje (la novela explora precisamente el tema del control social a través del lenguaje). Piénsenlo. Si alguien en Pao quisiera barruntar "¡no puedo hacerlo, tengo 100 cosas que hacer!" como metáfora de estar muy ocupado, debería decir en su idioma "¡no puedo hacerlo, tengo 64 cosas que hacer!". Los sistemas de base numeral definen muchas cosas, desde las metáforas hasta el sistema monetario, incluyendo las unidades de medición, etcétera...

La muerte de Evariste Galois.

Evariste Galois es considerado uno de los más importantes y reconocidos genios matemáticos de todos los tiempos, y si no llegó a alcanzar una estatura mayor, es probablemente debido a la tempranísima edad en que falleció, y que no le permitió expresar la totalidad de su genio matemático. Porque Galois murió cuando tenía apenas veinte años de edad.

Galois nació en Octubre de 1811. Podríamos decir de él que pertenecía al típico temperamento romántico de su época. Su carácter apasionado y su desprecio por la autoridad le iba a traer, por supuesto, una enorme cantidad de problemas en su corta vida. Siendo todavía estudiante, publicó un trabajo sobre las condiciones de resolución de una ecuación polinómica por radicales, un problema matemático considerado hasta la fecha como prácticamente insoluble, y que abrió camino a toda una nueva rama de las Matemáticas, llamada con justicia la Teoría de Galois. Publicó aún algunos trabajos más, muy pocos, pero que dan a entender lo lejos que estaba llegando en el Algebra, y que lo mostraban como una futura luminaria en el campo de las Matemáticas.

Esto hubiera sido así, si se hubiera quedado en las Matemáticas. Pero también tenía opiniones políticas, y las sostenía con el temperamento ardiente de un adolescente, lo que le valió, en la Francia de la Revolución de 1830, terminar en prisión. Una vez fuera de la cárcel, encontró tiempo para meterse en líos de nuevo. Desafió o fue desafiado a duelo (la manera en que los caballeros de la época solían resolver sus asuntos de honor, recordemos), quizás por un asunto de faldas. La noche anterior al enfrentamiento, no durmió absolutamente nada: se la pasó en vela escribiendo cartas y textos matemáticos, convencido de que no viviría ya más desde el día siguiente. Su terror a los resultados del duelo, su cansancio extremo a la madrugada del día siguiente, y su cuota de mala suerte, hicieron el resto: Galois recibió un balazo en el abdomen, el 30 de Mayo de 1832, y falleció al día siguiente, a las diez de la mañana. Sus famosas últimas palabras fueron: "Ne pleure pas, Alfred! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans!" ("¡No llores, Alfredo! ¡Necesito de todo mi coraje para morir a los veinte años!"). Este Alfredo era su hermano. El reconocimiento llegó tardíamente a Galois, cuando su obra fue publicada en 1843, más de diez años después de su muerte, y fue saludado como uno de los más grandes genios matemáticos del siglo XIX. En ese 1843, Galois hubiera cumplido 32 años.

El determinismo a rajatabla de Laplace.

La anécdota es conocida, pero muy reveladora sobre lo que era la mentalidad de finales del siglo XVIII y comienzos del XIX, en lo que a las Ciencias se refiere. Pierre Simon Laplace era indiscutiblemente el as de la Astronomía y las Matemáticas francesas, hasta el punto que sus coterráneos, llevados a la hipérbole por el nacionalismo, no dudaron en llamar el "Newton francés". Más tarde o más temprano, el Newton Francés tenía que encontrarse con el César Francés, y así es como se conocieron Laplace y Napoleón Bonaparte. Un elemental sentido de la prudencia política recomendó a Laplace regalarle uno de sus libros a Napoleón, y éste descubrió (según un cronista dice, más bien alguien se lo hizo notar) que Laplace en ninguna parte del grueso tratado hacía referencia acerca de Dios. Napoleón habría dicho entonces:

- Señor Laplace, me dicen que usted ha escrito este enorme libro sobre el sistema del universo, y en ninguna parte hace mención a su Creador. - ("Monsieur Laplace, on me dit que vous avez écrit ce volumineux ouvrage sur le système de l’Univers sans faire une seule fois mention de son Créateur").

- Yo nunca tuve necesidad de una hipótesis como ésa - replicó entonces el imperturbable Laplace ("Je n'avais pas besoin de cette hypothèse-là").

- ¡Ah, pero sigue siendo una buena hipótesis! Explicaría tantas cosas... - ("Ah ! c’est une belle hypothèse ; elle explique beaucoup de choses").

No en balde, Laplace era heredero espiritual de Newton, el hombre que había "probado" que Dios actuaba como un Gran Relojero. Un problema que había quedado pendiente era el de la estabilidad del Sistema Solar: según la Ley de Gravedad, todos los cuerpos del Sistema Solar deberían atraerse en mayor medida unos con otros, y esto debería llevar a un Sistema Solar inestable en que los planetas terminaran por salirse de sus órbitas o caer en espirales ascendentes o descendentes hacia el Sol. El mérito de Laplace respecto de esto fue probar matemáticamente que el Sistema Solar era estable, porque las anomalías gravitacionales de las distintas órbitas planetarias tienden a corregirse entre sí. Al estudiar las leyes del movimiento planetario, Newton creía estar descifrando la Mente de Dios, mientras que Laplace, al hacer lo mismo un siglo más tarde, creía estar simplemente quitando la mano de Dios... o acaso a Dios entero de la ecuación (Laplace era francmasón, es decir, creía en el Gran Arquitecto del Universo). Determinista a ultranza, Laplace pensaba que una inteligencia con vasto poder de cálculo y capacidad para ver cada átomo y molécula del universo y calcular sus movimientos, podría deducir las leyes de su movimiento infinitamente hacia adelante y hacia atrás, y por lo tanto, el pasado y el futuro serían para esa criatura como un libro abierto. Sintomáticamente, Laplace no llama a esa criatura "Dios"... Laplace en esto era hijo del Siglo de las Luces, pero ya vendría después la Mecánica Cuántica a borrar de un codazo toda esta confianza suprema en el determinismo matemático.

La apuesta de Pascal.

Curiosamente, en los más de dos años que Siglos Curiosos lleva en línea, no es algún posteo sobre la Edad Media, sobre la guerra o sobre América Precolombina que se lleva la palma por mayor cantidad de visitas dentro del blog, sino el relacionado con la Pascalina. Aunque ha caído su tanto, de todas maneras sigue en el Top Ten de lo más leído en Siglos Curiosos (BlogPatrol dixit). Y si Pascal quieren nuestros lectores... Pascal hasta que revienten.

Blaise Pascal vivió escasos 39 años: nació en 1623 y murió en 1662. Quizás por su mala salud consuetudinaria, desarrolló una intensísima vida espiritual, que lo llevó desde las Matemáticas y la Hidráulica (campos en que hizo importantísimas contribuciones) hasta la Teología y el Misticismo. Una curiosa combinación de dos grandes preocupaciones suyas, la Teoría de las Probabilidades y el Misticismo, radica en la llamada "apuesta de Pascal". Según Pascal, creer en Dios es apuesta más segura que no creer, porque eso abre cuatro posibilidades: 1.- Creo en Dios y acierto, entonces mi ganancia es infinita (me voy al Cielo), 2.- Creo en Dios y me equivoco, entonces no gano ni pierdo nada (mi vida se acaba, sin Cielo ni Infierno), 3.- No creo en Dios y acierto, entonces entonces no gano ni pierdo nada (no hay vida ultraterrena otra vez, por lo que no gano ni pierdo nada), y 4.- No creo en Dios y me equivoco, entonces mi pérdida es importante y quizás infinita (me voy al Purgatorio o al Infierno). Por tanto, creer en Dios es apuesta segura, porque es imposible perder (aunque es posible "no ganar"), mientras que ser ateo es una pésima apuesta porque no hay forma de ganar (aunque sí se puede "no perder"). La palabra "apuesta" es correcta porque no en balde, Blaise Pascal fue uno de los fundadores de la moderna Teoría de Probabilidades, y por lo tanto, lo que estaba haciendo era aplicar las Matemáticas más novísimas de su tiempo, al pensamiento religioso.

Aunque la apuesta de Pascal ha sido esgrimida desde antiguo por muchas religiones como defensa de su fe (de una manera no tan matemática, por supuesto), no resiste un análisis lógico demasiado firme, y en realidad Pascal hace una serie de asunciones derivadas de su propio pensamiento místico. Por ejemplo, podría darse la circunstancia de que existiera un Dios en efecto, pero éste premiara el pensamiento racional y castigara la fe ciega; y en este caso estamos creyendo en Dios por fe y sin evidencias (sólo por argumento de probabilidad, no por certeza). Por otra parte, la esencia de la fe es justamente dar un salto más allá de la razón, por lo que creer en Dios como parte de una apuesta probabilística es justamente negar la fe. Además, este esquema sólo funciona dentro de una creencia teológica en que hay un Dios que castiga o premia de manera infinita, idea congruente con el pensamiento de Pascal (éste pertenecía a la secta de los jansenitas, y éstos eran conocidos por su rigor místico, tanto que a pesar de ser fieles a la Iglesia Católica, ella misma terminó por reprobarlos). Sin embargo, este Dios Premiador o Punisher no necesariamente tiene que existir (por ejemplo, si el premio ultraterreno no es infinito, entonces quizás no compense las privaciones terrestres, y a la inversa, si el castigo ultraterreno debe terminar en algún minuto, entonces quizás valga la pena aceptarlo a cambio de una recompensa terrena mayor). Y por cierto, queda abierta la gran pregunta de... ¿y si elegimos adorar a un dios que resulta no ser el correcto...? ¿Acaso por creer en el Dios Cristiano, no podría eventualmente castigarnos Alá o Buda, en caso de que alguno de ellos, u otro, sea el cappo di tutti cappi...?

Volviendo al terreno netamente histórico, parece ser que, a pesar de vivir sus últimos años en un misticismo y automortificación monacal, el propio Pascal falleció un tanto angustiado: sus últimas palabras habrían sido "ojalá que Dios nunca me abandone" ("Puisse Dieu ne jamais m'abandonner")...

Ese joven llamado Kepler...

Todos los jóvenes creen que van a cambiar el mundo. Después, el mundo se las arregla para cambiarlos a ellos. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) no fue ninguna excepción.

Kepler es recordado ante todo por su fenomenal descubrimiento de las llamadas Tres Leyes de Kepler, que rigen el movimiento de los planetas. En ese tiempo (1619) eran un avance monumental, si bien cuando a finales del mismo siglo (en 1682) Isaac Newton publicó sus trabajos sobre la gravedad, se comprobó que las leyes keplerianas eran casi corolario de las newtonianas. De todos modos, Kepler las dedujo a punta de matemáticas, sin el cálculo infinitesimal que tanto ayudó a Newton, y sin siquiera tener el concepto de "gravedad", y manejar uno muy laxo de "fuerza".

Por eso, puede parecer un poco sorprendente que Kepler, que tanto hizo por la ciencia astronómica en su madurez, en su juventud se dedicara a los desvaríos místicos y filosóficos, por ese entonces más o menos de moda gracias a hombres como Giordano Bruno. A los 26 años publicó su obra de juventud, el "Mysterium Cosmographicum", que es en realidad más especulación mística que verdadera ciencia. Concretamente, se basó nada menos que en las tesis de ¡Pitágoras!, para sacar adelante sus "investigaciones". Preguntándose por el número de los planetas, le pareció una bonita coincidencia que hubieran sólo seis (Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno, puesto que los siguientes no se conocían), y que hubiera sólo cinco cuerpos sólidos perfectos (el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, y Euclides había probado que no existían más). Así es que dijo simplemente que en cada separación había una esfera cristalina que tenía la forma de un cuerpo sólido perfecto.

Si Kepler hubiera quedado en ese punto, de seguro sería considerado no un gran científico, sino un charlatán superlativo. Afortunadamente, después fue contratado como matemático ayudante de Tycho Brahe, lo que le permitió acceder a sus observaciones. Concretamente, descubrió que (lo que después se llamó la Primera Ley de Kepler) los planetas se mueven no en círculos, la "forma perfecta" según los filósofos, sino en elipses con el Sol en uno de sus focos. Contradiciéndose su modelo universal con esta observación, optó valientemente por los hechos y dejó arrumbada a un lado la Filosofía. Gracias a este paso, emergió el Kepler matemático en forma, que por suerte para él y para la posteridad, acabó por arrumbar al Kepler místico en su mundo de ensueños y quimeras.

La Biblia y el valor de pi en el Templo de Salomón.

La constante cuyo valor es aproximadamente 3,1415926535... aparece por primera vez bajo el nombre de "Pi" en el siglo XVIII, de la mano del brillante matemático suizo Euler. Sin embargo, ya en la Antigüedad se sabía de la existencia de este valor, el cual es el resultado de dividir la circunferencia de un círculo por su diámetro. Es decir, los matemáticos de la más remota Antigüedad habían descubierto que cualquiera fuera el tamaño del círculo, siempre que se tomara el largo de su circunferencia y se dividiera por el diámetro de la misma, daría por resultado un valor constante, y que ese valor constante era igual a Pi (calculando éste con mayor o menor exactitud). ¿Debería resultar eso sorprendente? Probablemente no. La verdad es que los antiguos eran consumados geómetras, y debían serlo, debido a la importancia que entre ellos tenía la agrimensura (la medición de terrenos, en este caso agrícolas, para fijar sus deslindes) y la ingeniería. Probablemente fue el griego Arquímedes quien ganó más fama por medir pi, pero su labor ensombrece la de otros genios anónimos que en China, Babilonia o Egipto emprendieron labores semejantes. Y una evidencia temprana de ello se encuentra nada menos que en la Biblia, algo sorprendente para quien piense que el texto bíblico es apenas un conjunto de mitos semilegendarios sin base histórica alguna.

Si hemos de creer al relato bíblico, fue nada menos que Hiram de Tiro, el arquitecto que según el Libro de Reyes construyó el Templo de Jerusalén, quien tenía en mente el valor de pi. En el Libro Primero de Reyes 7:23 hay una temprana intuición acerca de esta constante. El versículo en cuestión dice lo siguiente (seguiré la traducción Reina Valera de 1909, por considerarla más exacta que otras actuales que traducen a "metros"): "Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo: su altura era de cinco codos, y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos". Se refiere a Hiram de Tiro, construyendo una pileta ("mar de fundición") en el interior del Templo de Jerusalén. Nótese que su circunferencia ("cordón") es de treinta codos, y su diámetro es de diez codos ("de un lado al otro"). O sea, este texto calcula pi en 3 (30 codos divididos en 10 codos arrojan ese resultado). Puede parecer un error grotesco, pero el escritor del Libro de Reyes era probablemente historiador y no arquitecto, en primer lugar, y en segundo lugar pudo simplemente dar cifras aproximadas, y no las reales. En todo caso, hay aquí una brillante premonición del valor de pi, que otros matemáticos después se encargarán de refinar, hasta las mediciones computacionales actuales que han arrojado valores de cerca de un trillón de dígitos, o quizás más...

El triste descubrimiento matemático de Pitágoras.

El filósofo Pitágoras de Samos, quien vivió en el siglo VI adC, fue uno de tantos prominentes griegos que en la época viajaron por Egipto y Babilonia, naciones más antiguas que Grecia, y por tanto, con un mayor saber acumulado. Aparentemente, en tales tierras aprendió varios secretos matemáticos desconocidos entre los greigos, y gracias a ello, cuando se instaló en la ciudad de Crotona, en la Magna Grecia (actualmente el sur de Italia), utilizó esos secretos para construir una secta mística de la cual Pitágoras era, por supuesto, el jefe.

Predicaba Pitágoras que el universo entero era pura armonía, y dicha armonía era numérica. Es decir, la naturaleza del universo podía expresarse por relaciones y proporciones entre números, el medio a través del cual se expresaba la armonía divina. Por ello, grande debió ser el disgusto cuando descubrió que la raíz cuadrada de 2 no entraba en ninguno de sus supuestos armónicos.
Los antiguos griegos conocían los números naturales, y también habían avanzado hasta el concepto de fracción de un número, aunque concebían a éstas como la relación o razón entre dos números naturales. Así, por ejemplo, el número "0,25" era la razón o relación entre 1 y 4 (o sea, "1/4"), y el número "0,6666..." es la razón o relación entre 2 y 3 ("2/3") Por eso, éstos se llaman "números racionales".
Pero Pitágoras llegó un paso más allá. Usando el precisamente llamado Teorema de Pitágoras (que no inventó, parece ser), que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo que están en ángulo recto entre sí (catetos), y el tercer lado (hipotenusa). Esta relación suele enunciarse así: "la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa". Ahora bien, aplicando esa fórmula a un triángulo de dos catetos iguales, cada uno de lado 1 (1 metro, 1 kilómetro, lo que sea, pero de tamaño 1), entonces la hipotenusa mide 1,416... y pueden seguir dividiendo sin llegar jamás hasta un número que pueda ser expresado como una razón entre otros dos números enteros, por grandes que sean. Pitágoras había dado así por primera vez con un número que no podía ser expresado como una razón o proporción, con un número no racional, con el primer número irracional conocido...
Se dice que Pitágoras, perturbado por un descubrimiento que enviaba al traste todas sus teorías sobre la armonía numérica universal, mandó a sus discípulos mantener su descubrimiento en secreto, con un celo más propio de un fanático religioso que de un científico. Pero uno de sus discípulos habló. Años después, éste discípulo pereció en un naufragio. ¿Coincidencia...?

De cómo Eratóstenes midió la circunferencia de la Tierra.

Uno de los más extraordinarios experimentos científicos de todos los tiempos fue llevado a cabo por Eratóstenes, en el siglo III a.C., cuando con los rudimentarios medios técnicos de la Antigüedad, midió de manera notablemente exacta nada menos que la circunferencia de la Tierra. Para ello sólo usó algunos papiros para consultar, su ojo, un gnomon (cuadrante)... y un esclavo para caminar por el desierto. Pero vamos por orden.
Estaba Eratóstenes en la Biblioteca de Alejandría cuando cayó en sus manos la noticia de que en una localidad egipcia llamada Siena (actualmente Asuán), durante el solsticio de verano la luz caía de manera directa, y por lo tanto el Sol se reflejaba en el fondo de un pozo (o sea, los rayos solares entraban de manera vertical por él). Eratóstenes se quedó perplejo, porque en esa misma fecha del solsticio de verano, en Alejandría, los rayos solares sí arrojaban sombra (o sea, no podían caer en forma vertical).
En la Astronomía de la época se admitía que el Sol estaba muy lejano, y por ende, los rayos solares debían caer de manera prácticamente paralela sobre la Tierra. Por lo tanto, la única explicación de que al mismo tiempo el Sol cayera sobre Siena en forma vertical, y sobre Alejandría "en ángulo", es que el suelo en Siena fuera perpendicular a los rayos solares, y en Alejandría no lo fuera. Y para eso, debía ser cierto que la Tierra era una esfera, una superficie curva, y no plana.
Eratóstenes siguió reflexionando. Si clavaba una estaca vertical en Alejandría, la línea de la sombra que dicha estaca arrojaba debía ser paralela a los rayos solares, y por ende, paralela a la vertical de Siena. Por tanto, la estaca vertical en Alejandría debía estar en ángulo con respecto a la estaca vertical de Siena, y ese ángulo debía ser igual al de la estaca de Alejandría respecto de su propia sombra. Al medir el ángulo de la sombra en Alejandría, descubrió que ese ángulo era de unos 7º. Como la Tierra es una circunferencia, o sea tiene 360º, la relación entre ambos números es de 1 a 50 (360:7=50, aproximadamente). Por lo tanto, la distancia capaz de producir una diferencia de sombra de 7º entre Alejandría y Siena, multiplicada por 50, debería ser la circunferencia de la Tierra.
Faltaba entonces conocer la distancia entre Alejandría y Siena. Cuenta la leyenda que Eratóstenes mandó a un esclavo a medir dicha distancia, a pasos, toda ella. Luego multiplicó esa distancia por 50, y obtuvo la cantidad de 250.000 estadios. Ahora bien, hay dos medidas antiguas para el estadio: si se aplica el estadio griego se obtiene un margen de error del 17% aproximadamente, pero si se aplica el estadio egipcio se obtiene un margen de error de nada menos que el 1%. Esto es equivalente a decir que Eratóstenes, usando medios tan rústicos como su ojo, su mano, los pies de su esclavo (¡pobre esclavo!), y un gran cerebro, consiguió un cálculo tan exacto que no fue igualado sino hasta las grandes expediciones geodésicas del siglo XVIII, hechas éstas, por supuesto, con instrumentos mucho más sofisticados.

La cacería del planeta Vulcano.

No, no es el planeta Vulcano desde el cual viene nuestro amadísimo amigo el Señor Spock, sino uno que estaría DENTRO del Sistema Solar. O mejor dicho, que alguna vez se pensó existir. Hagamos un poco de historia.
Era el siglo XIX. Los científicos habían pulido al máximo la herramienta de cálculo por oscilaciones gravitatorias. Después del descubrimiento de Urano en 1781 (éste, por un telescopio óptico de toda la vida), se habían detectado anomalías gravitacionales en su órbita que, al ser desarrollados los cálculos, llevaron a determinar que había un planeta más allá. Después de una paciente labor de búsqueda en las coordenadas predichas, ¡hop!, apareció Neptuno (1846).
Si funcionó para planetas más lejanos al Sol que los conocidos, ¿por qué no al revés? En esa época habían algunas perturbaciones gravitacionales en la órbita de Mercurio, que preocupaban seriamente a los astrónomos, porque desafiaban la Teoría de la Gravitación formulada por Isaac Newton. En 1859, en carta enviada a LeVerrier (uno de los astrónomos que predijo Neptuno), un astrónomo aficionado reportó haber visto un objeto intramercuriano. Lo que éste vio en definitiva no se sabe, pero Le Verrier se entusiasmó tanto, que en 1860, después de sesudos cálculos, anunció la existencia de un planeta entre Mercurio y el Sol, que se llamaría Vulcano, y que habría permanecido invisible a los telescopios debido a su pequeño tamaño y brillo, opacado por la luminosidad solar.
Hubo una fiebre de buscadores de Vulcano, y se reportó la presencia de este mundo varias veces, de la única manera concebible: cuando Vulcano pudiera pasar delante del Sol, y por ende, hacer sombra. Hoy en día, nadie se toma la teoría de Vulcano en serio. En 1916, a la luz de la por entonces novísima Teoría General de la Relatividad de Albert Einstein (postulada el año anterior), se recorrigieron los cálculos, y se descubrió que las perturbaciones gravitacionales en la órbita de Mercurio no existían sino usando las matemáticas de Newton, pero las de Einstein corregían cualquier anomalía. Con lo que Vulcano pasó al desván de los mitos astronómicos, junto con la teoría del éter y las esferas cristalinas del cielo.

La pesadilla de calcular la longitud en el mar.

En los tiempos heroicos de la navegación, conocer la posición exacta de una nave en el mar era cosa tan difícil como crucial. La brújula, introducida en Europa en el siglo XII o XIII, ayudó en algo, pero con ella sólo podía saberse la dirección a tomar, no la posición propia. Para ello se debe disponer de dos datos, la latitud (qué tan al norte o al sur está la nave) y la longitud (qué tan al este o al oeste está). Calcular la latitud era fácil, bastando con observar la altitud del Sol y el ángulo que forma con el horizonte. La longitud, en cambio, fue durante siglos un problema irresoluble, y se calculaba indirectamente deduciéndola a partir de la velocidad de la nave y su dirección, por supuesto que con un alto grado de imprecisión.
Recién en el siglo XVIII surgió un método fiable para calcular la longitud. Los navegantes cayeron en la cuenta de que mientras más al este u oeste se encuentre una nave, mayor es la diferencia horaria con el puerto de partida, debido a que la Tierra es curva, y por tanto, una circunnavegación a la misma permite ganar o perder 24 horas de tiempo, según si se sigue al Sol o se va en dirección opuesta. Como la circunferencia de la Tierra tiene 360 grados, y eso suma 24 horas, entonces cada grado debe significar una diferencia de (24 horas divididas en 360 grados) 4 minutos. Por tanto, si al mediodía se mira la hora en un reloj sincronizado con la hora del puerto de partida, y se calcula la diferencia, se puede tener una buena estimación de la longitud.
¿Y por qué recién en el siglo XVIII se descubrió este confiable método? Simplemente porque fue en aquel tiempo que aparecieron relojes de precisión que merecieran ese nombre. Y es que hasta ese tiempo, los relojes podían adelantarse o atrasarse hasta cinco minutos al día, lo que implicaba calcular un grado de más o menos, y un grado de diferencia en el Ecuador significa pifiar la propia posición mada menos que por algo más de 100 kilómetros...

1,618

Después del problema de la cuenta bancaria a interés compuesto, otra entrada que toca la Historia de manera tangencial.

Se dice que el número 1,618 es el más bello de todos. Este número encierra una proporción: un rectángulo cuyo lado mida una unidad, y su lado más largo mida 1,618 de esa misma unidad (o sea, que estén en una relación 1:1,618), es llamado Rectángulo Aureo. Se supone que el Rectángulo Aureo es la proporción más bella de todas.

El Rectángulo Aureo es posible encontrarlo en numerosas obras artísticas históricas, y aquí sí entramos en materia. Si usted divide el ancho del Partenón por su altura, obtendrá 1,618. Cada uno de los tres niveles del edificio de las Naciones Unidas, es un Rectángulo Aureo. Muchos retratos, incluyendo un célebre retrato del pintor renacentista alemán Alberto Durero mirando de frente, contienen dicha proporción en las dimensiones de su nariz, su cara, sus ojos, etcétera. Lo mismo vale para la Mona Lisa: si usted divide el alto de su cara por su ancho, obtiene 1,618.

Un matemático italiano llamado Leonardo Fibonacci diseñó en el siglo XIII una secuencia, llamada Serie de Fibonacci, según la cual cada número de esa secuencia se obtiene sumando los dos anteriores, partiendo por el 1. Así: 1, 1 (1), 2 (1+1), 3 (1+2), 5 (2+3), 8 (3+5), 13 (5+8), 21 (8+13), 34 (13+21), y así sucesivamente. Fibonacci descubrió que dividiendo un número de esta secuencia por el número anterior, se obtiene un resultado cada vez más cercano a 1,618 (mientras más grande el número), y que se van alternando en errar por exceso (más de 1,618) y por defecto (menos de 1,618). Así:

2 : 1 = 2 (falla por exceso).

3 : 2 = 1,5 (falla por defecto).

5 : 3 = 1,666... (falla por exceso, pero menos que el anterior fallo por exceso).

8 : 5 = 1,6 (falla por defecto, pero menos que el anterior fallo por defecto).

13 : 8 = 1,625 (falla por exceso, ahora sólo por algo menos de ocho milésimas).

21 : 13 = 1,61538... (falla por defecto, ¡tres milésimas!).

34 : 21 = 1,61904...

Como puede apreciarse, el componente matemático de la belleza... muchos pueblos antiguos y modernos lo han conseguido reconocer.